Lauran Toussaint, Klaus Niederkruger et moi avons une collaboration en cours sur le thème des feuilletages symplectiques en grandes dimensions. Les feuilletages symplectiques sur les variétés de dimensions impaires sont des feuilletages de codimension 1 pour lesquels il existe une 2- forme sur la variété ambiante qui est symplectique (i.e. non dégénérée et fermée) sur chaque feuille. Si la 2-forme est en plus fermée sur la variété ambiante, le feuilletage est dit symplectique fort.

 L’interêt pour ce type de feuilletage est motivé par des résultats plutôt récents qui montrent qu’ils sont des objets assez « rigides », i.e. qui n’existent pas sur toute variété de dimension impaire (où il n’y a pas d’obstructions homotopiques), mais qui au contraire donnent des contraintes non banales sur la topologie de la variété ambiante. Dans notre travail en collaboration (en phase de termination), nous donnons une obstruction pour qu’un feuilletage symplectique soit symplectique fort, qui prend la forme d’une sous variété feuilletée qui est dans un certain sens analogue au Plastikstufe introduit par Niederkruger ‘06 dans le cas des variétés de contact.

Dans ce projet nous nous intéressons à la résolution du problème inverse de Cauchy pour l'équation de Poisson par des méthodes sans maillage. Nous développons une méthode semi-analytique basée sur l'approximation de la solution de ce problème par des ondelettes de Haar. Nous utilisons la technique de régularisation de Thikonov combinée à une stratégie de préconditionnement pour la résolution du système linéaire obtenu.

L'objectif général est d'étudier les grandes déviations pour un ensemble bi-orthogonal ; et de généraliser les résultats déjà obtenus pour des ensembles orthogonaux de matrices aléatoires. Le modèle étudié, connu sous le nom d'ensemble Muttalib --Borodin, peut également être décrit en termes de chemins maximaux dans un environnement aléatoire, appelés percolations de dernier passage. Par conséquent, un autre objectif serait de caractériser les grands écarts du dernier temps de passage, en corollaire du résultat obtenu pour l'ensemble bi-orthogonal.

Le but de ce projet entre dans le cadre de la coopération entre des membres du Laboratoire de Mathématiques Jean Leray de Nantes Université et de Mourad NACHAOUI, ancien doctorant de notre laboratoire et actuellement professeur habilité à l'Université Sultan Moulay Slimane, Beni Mellal, Maroc. Deux types de travaux scientifiques seront considérés durant ce séjour. Le premier travail consiste résoudre un problème mal posé issu du traitement d'image en utilisant une nouvelle approche basée l'assimilation des données. Concrètement nous traitons l'estimation du flot optique en présence du bruit. Quant au deuxième travail il vise à finaliser certains problèmes déjà entamés en collaboration avec les collègues du Laboratoire de Mathématiques Jean Leray. Un premier problème consiste à proposer une nouvelle formulation en contrôle optimal pour résoudre un problème inverse de reconstruction de données aux bord. Quant au deuxième problème il consiste à finaliser le problème de la résolution d’un modèle inverse appliqué à la prévision météorologique.

Nous comptons travailler sur l’étude de phénomène de rigidité et de flexibilité en géométrie localement conformément symplectique. Ces variétés ont le même géométrie locales que les variété symplectique mais les changement de cartes peuvent modifier le volume symplectique. Des théorème d’existences générales montrent que c’est une relation flexible et nous volons nous intéresser à certaines propriétés de celles-ci rendant ces variétés rigides. Une de ces propriétés (que nous avons déjà commencé à étudier à distance) est le fait que la variété apparaissent comme déformation d’une vraie structure symplectique (par le théorème de Lefschetz fort cela sort de monde de la géométrie Kaehler). L’existence de telle déformation est reliée à l’existence d’hypersurface de contact non-séparante, la construction de telle hypersurface (ou l’obstruction à l’existence de celles-ci) est aussi un des axes que nous aimerions explorer.

Daniel Bath obtained his phD under the supervision of Uli Walther and is now on a post doctoral position at the university of Leuwen. His research is in algebraic geometry singularity theory and commutative algebra, often related to D-modules. More specifically he worked on Bernstein Sato ideals of an analytic map, notably in the case of hyperplane arrangments, and made substantial progress in the question of determining the zeroes of these ideals which have a combinatorial significance. He looked also at the question of making free a tame arrangement, by an addition of hyperplanes. Recently he adressed the question of the logarithmic comparison theorem, in the twisted and untwisted cases, and solved in particular an old conjecture by Terao and Yusvinsky. He continued in this direction with a paper in collaboration with Morihiko Saito, where they look at the same problem for locally quasihomogeneous divisors. These subjects are closely related to centers of interest in the Larema, for those working in singularity theory, first with Michel Granger, but also with other colleagues like A. Assi, Etienne Mann, V. Roubtsov, and others. Michel Granger wrote a number of papers with co-authors widely refered to as well as himself, in D Bath papers. Our common interests involve various aspects of logarithmic vector fields and differential forms, sufficient conditions of freeness, and local or global comparison theorem in the case of semiinvariants in prehomogeneous spaces, or in the case of the so-called linear free divisors. There is a strong incentive for us to compare results and methods. The same is true about Bernstein Sato polynomial and ideals, about which Granger had a narrow look at papers about their generators in the free or in the generic case.

Ce projet de collaboration se focalise sur la résolution du problème inverse de Cauchy à l'aide d'un réseau neuronal profond (DNN). Ceci est dû à la variété des applications du problème de Cauchy dans la vie réelle, ce qui nous permettra d'utiliser un ensemble de données réelles. L'idée de résoudre ce modèle est basée sur l'interpolation de la solution du problème inverse par un réseau de neurones profond (DNN). Pour cette raison, notre étude se concentrera d'abord sur l'évaluation numérique de différentes architectures récemment proposées dans le domaine de l'apprentissage automatique. Ensuite, nous proposons une nouvelle architecture à haute capacité avec des justifications théoriques, et nous essayons d'utiliser différents types de méthodes d'optimisations pour améliorer les résultats obtenus.

L’école d’été « Symplectic, real, and tropical aspects of enumerative geometry » s’est tenue à la Résidence Port aux Rocs, Le Croisic 44), du 14 au 18 juin 2021. Elle a consisté en 3 cours donnés par des experts de renommée internationale, et en 6 exposés donnés par de jeunes participants.
La liste des cours :
Pierrick Bousseau (Orsay) : Aspects of refined enumerative geometry
Viatcheslav Kharlamov (Strasbourg) : On topological properties of real algebraic varieties
Olivier Wittenberg (Paris 13) : Cohomology and algebraic cycles on real varieties
La liste des exposés :
Hulya Arguz (Versailles Saint Quentin) : Relative Gromov–Witten invariants of blow-ups of toric varieties
Thomas Blomme (Neuchâtel) : Refined enumerative geometry in high dimension
Tristan Humbert (Chambéry) : Sur le nombre de points d’intersection réels de courbes planes creuses
Léo Mathis (SISSA Trieste) : Probabilistic Schubert calculus
Anh Thi Ngoc Nguyen (Nantes) : Gromov-Witten-Welschinger invariants of some del Pezzo varieties are related
Matthieu Piquerez (École Polytechnique) : Tropical Hodge theory
En marge des ces cours et exposés d’un haut niveau scientifique, cette école a permis à des doctorants et postdoctorants de rencontrer des mathématiciens établis et d’initier ainsi des échanges scientifiques intéressant, et ce dans une atmosphère conviviale.

Notre collaboration porte, d’une part, sur la statistique asymptotique des processus fractionnaires. Nous avons notamment défini la notion d’efficacité asymptotique dans une expérience statistique singulière impliquant le bruit gaussien fractionnaire. Dans cette expérience, l’estimateur de maximum de vraisemblance est asymptotiquement efficace mais généralement long à calculer. Pour remédier à ce problème, j’ai proposé́ des procédures d’estimation one-step asymptotiquement efficaces elles aussi mais rapides à calculer [2]. Masaaki, de son côté, a proposé un estimateur de type Whittle [3].

Nous souhaiterions étendre ces résultats au processus d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire observé à haute-fréquence pour lequel notre preuve ne fonctionne plus.

Nous discuterons également des nouvelles procédures d’estimation efficace dans les processus de diffusion à coefficients singuliers et dans les processus markoviens à régimes.

[1] A. Brouste and M. Fukasawa (2018) Local asymptotic normality property for fractional Gaussian noise under high-frequency observations, The Annals of Statistics, 46(5), 2045-2061.

[2] A. Brouste, M. Soltane and E. Votsi (2020) One-step estimation for the fractional Gaussian noise model at high-frequency, ESAIM PS, 24, 827-841.

[3] M. Fukasawa et T. Takabatake (2019) Asymptotically efficient estimators for self-similar stationary Gaussian noises under high frequency observations, Bernoulli, 25, 1870-1900.

Mr. Zouhair El Hadri exerce ses activités en qualité d’enseignant-chercheur en statistique au Laboratoire d’Analyse Mathématique et Applications(AMA) de la faculté des sciences de l’Université Mohammed V à Rabat au Maroc.  

Cette invitation s’inscrit dans la continuité de la collaboration entre les deux laboratoires (StatSC-AMA) initiée en 2013 dans le cadre de la thèse de doctorat de Mr El Hadri portant sur le thème des modèles à équations structurelles. Cette thèse a été co-encadrée par l’un des membres de StatSC.  Depuis cette date, cette collaboration s’est poursuivie et diversifiée. Elle est centrée aujourd’hui principalement sur deux objectifs.  

Le  premier objectif est algorithmique, il  consiste à proposer des nouvelles procédures pour l’estimation des paramètres des modèles à équations structurelles par le biais d’une approche nouvelle baptisée FIM (Finite Iterative Method) développée conjointement par les deux laboratoires. Cette approche prometteuse constitue un point d’articulation essentiel de la collaboration.  

Le deuxième objectif est méthodologique, il consiste à  développer des méthodes de prédiction dans un contexte multibloc avec ou sans blocs intermédiaires par le biais d’un rapprochement entre les modèles à équations structurelles et les modèles multiblocs.  La collaboration sur ce second volet est récente, elle est réalisée dans le cadre de la thèse de doctorat de Mr Aberrahim SAHLI co-encadrée par les deux laboratoires.