Le but de ce projet entre dans le cadre de la coopération entre des membres du Laboratoire de Mathématiques Jean Leray de Nantes Université et de Mourad NACHAOUI, ancien doctorant de notre laboratoire et actuellement professeur habilité à l'Université Sultan Moulay Slimane, Beni Mellal, Maroc. Deux types de travaux scientifiques seront considérés durant ce séjour. Le premier travail consiste résoudre un problème mal posé issu du traitement d'image en utilisant une nouvelle approche basée l'assimilation des données. Concrètement nous traitons l'estimation du flot optique en présence du bruit. Quant au deuxième travail il vise à finaliser certains problèmes déjà entamés en collaboration avec les collègues du Laboratoire de Mathématiques Jean Leray. Un premier problème consiste à proposer une nouvelle formulation en contrôle optimal pour résoudre un problème inverse de reconstruction de données aux bord. Quant au deuxième problème il consiste à finaliser le problème de la résolution d’un modèle inverse appliqué à la prévision météorologique.

Nous comptons travailler sur l’étude de phénomène de rigidité et de flexibilité en géométrie localement conformément symplectique. Ces variétés ont le même géométrie locales que les variété symplectique mais les changement de cartes peuvent modifier le volume symplectique. Des théorème d’existences générales montrent que c’est une relation flexible et nous volons nous intéresser à certaines propriétés de celles-ci rendant ces variétés rigides. Une de ces propriétés (que nous avons déjà commencé à étudier à distance) est le fait que la variété apparaissent comme déformation d’une vraie structure symplectique (par le théorème de Lefschetz fort cela sort de monde de la géométrie Kaehler). L’existence de telle déformation est reliée à l’existence d’hypersurface de contact non-séparante, la construction de telle hypersurface (ou l’obstruction à l’existence de celles-ci) est aussi un des axes que nous aimerions explorer.

Daniel Bath obtained his phD under the supervision of Uli Walther and is now on a post doctoral position at the university of Leuwen. His research is in algebraic geometry singularity theory and commutative algebra, often related to D-modules. More specifically he worked on Bernstein Sato ideals of an analytic map, notably in the case of hyperplane arrangments, and made substantial progress in the question of determining the zeroes of these ideals which have a combinatorial significance. He looked also at the question of making free a tame arrangement, by an addition of hyperplanes. Recently he adressed the question of the logarithmic comparison theorem, in the twisted and untwisted cases, and solved in particular an old conjecture by Terao and Yusvinsky. He continued in this direction with a paper in collaboration with Morihiko Saito, where they look at the same problem for locally quasihomogeneous divisors. These subjects are closely related to centers of interest in the Larema, for those working in singularity theory, first with Michel Granger, but also with other colleagues like A. Assi, Etienne Mann, V. Roubtsov, and others.

Michel Granger wrote a number of papers with co-authors widely refered to as well as himself, in D Bath papers. Our common interests involve various aspects of logarithmic vector fields and differential forms, sufficient conditions of freeness, and local or global comparison theorem in the case of semiinvariants in prehomogeneous spaces, or in the case of the so-called linear free divisors. There is a strong incentive for us to compare results and methods. The same is true about Bernstein Sato polynomial and ideals, about which Granger had a narrow look at papers about their generators in the free or in the generic case.

Ce projet de collaboration se focalise sur la résolution du problème inverse de Cauchy à l'aide d'un réseau neuronal profond (DNN). Ceci est dû à la variété des applications du problème de Cauchy dans la vie réelle, ce qui nous permettra d'utiliser un ensemble de données réelles. L'idée de résoudre ce modèle est basée sur l'interpolation de la solution du problème inverse par un réseau de neurones profond (DNN). Pour cette raison, notre étude se concentrera d'abord sur l'évaluation numérique de différentes architectures récemment proposées dans le domaine de l'apprentissage automatique. Ensuite, nous proposons une nouvelle architecture à haute capacité avec des justifications théoriques, et nous essayons d'utiliser différents types de méthodes d'optimisations pour améliorer les résultats obtenus.

L’école d’été « Symplectic, real, and tropical aspects of enumerative geometry » s’est tenue à la Résidence Port aux Rocs, Le Croisic 44), du 14 au 18 juin 2021. Elle a consisté en 3 cours donnés par des experts de renommée internationale, et en 6 exposés donnés par de jeunes participants.
La liste des cours :
Pierrick Bousseau (Orsay) : Aspects of refined enumerative geometry
Viatcheslav Kharlamov (Strasbourg) : On topological properties of real algebraic varieties
Olivier Wittenberg (Paris 13) : Cohomology and algebraic cycles on real varieties
La liste des exposés :
Hulya Arguz (Versailles Saint Quentin) : Relative Gromov–Witten invariants of blow-ups of toric varieties
Thomas Blomme (Neuchâtel) : Refined enumerative geometry in high dimension
Tristan Humbert (Chambéry) : Sur le nombre de points d’intersection réels de courbes planes creuses
Léo Mathis (SISSA Trieste) : Probabilistic Schubert calculus
Anh Thi Ngoc Nguyen (Nantes) : Gromov-Witten-Welschinger invariants of some del Pezzo varieties are related
Matthieu Piquerez (École Polytechnique) : Tropical Hodge theory
En marge des ces cours et exposés d’un haut niveau scientifique, cette école a permis à des doctorants et postdoctorants de rencontrer des mathématiciens établis et d’initier ainsi des échanges scientifiques intéressant, et ce dans une atmosphère conviviale.

Notre collaboration porte, d’une part, sur la statistique asymptotique des processus fractionnaires. Nous avons notamment défini la notion d’efficacité asymptotique dans une expérience statistique singulière impliquant le bruit gaussien fractionnaire. Dans cette expérience, l’estimateur de maximum de vraisemblance est asymptotiquement efficace mais généralement long à calculer. Pour remédier à ce problème, j’ai proposé́ des procédures d’estimation one-step asymptotiquement efficaces elles aussi mais rapides à calculer [2]. Masaaki, de son côté, a proposé un estimateur de type Whittle [3].

Nous souhaiterions étendre ces résultats au processus d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire observé à haute-fréquence pour lequel notre preuve ne fonctionne plus.

Nous discuterons également des nouvelles procédures d’estimation efficace dans les processus de diffusion à coefficients singuliers et dans les processus markoviens à régimes.

[1] A. Brouste and M. Fukasawa (2018) Local asymptotic normality property for fractional Gaussian noise under high-frequency observations, The Annals of Statistics, 46(5), 2045-2061.

[2] A. Brouste, M. Soltane and E. Votsi (2020) One-step estimation for the fractional Gaussian noise model at high-frequency, ESAIM PS, 24, 827-841.

[3] M. Fukasawa et T. Takabatake (2019) Asymptotically efficient estimators for self-similar stationary Gaussian noises under high frequency observations, Bernoulli, 25, 1870-1900.

Mr. Zouhair El Hadri exerce ses activités en qualité d’enseignant-chercheur en statistique au Laboratoire d’Analyse Mathématique et Applications(AMA) de la faculté des sciences de l’Université Mohammed V à Rabat au Maroc.

Cette invitation s’inscrit dans la continuité de la collaboration entre les deux laboratoires (StatSC-AMA) initiée en 2013 dans le cadre de la thèse de doctorat de Mr El Hadri portant sur le thème des modèles à équations structurelles. Cette thèse a été co-encadrée par l’un des membres de StatSC. Depuis cette date, cette collaboration s’est poursuivie et diversifiée. Elle est centrée aujourd’hui principalement sur deux objectifs.

Le premier objectif est algorithmique, il consiste à proposer des nouvelles procédures pour l’estimation des paramètres des modèles à équations structurelles par le biais d’une approche nouvelle baptisée FIM (Finite Iterative Method) développée conjointement par les deux laboratoires. Cette approche prometteuse constitue un point d’articulation essentiel de la collaboration.

Le deuxième objectif est méthodologique, il consiste à développer des méthodes de prédiction dans un contexte multibloc avec ou sans blocs intermédiaires par le biais d’un rapprochement entre les modèles à équations structurelles et les modèles multiblocs. La collaboration sur ce second volet est récente, elle est réalisée dans le cadre de la thèse de doctorat de Mr Aberrahim SAHLI co-encadrée par les deux laboratoires.

Ma collaboration avec H. Abbas a commencé avec mon intervention (il y a cinq ans) dans le Master « Disrcete maths and algebra » dont H. Abbas est un des responsables, et a abouti à une collaboration avec une thèse de cotutelle avec le département de mathématiques dans le domaine des matrices et leurs inégalités souvent liées à des applications dans différents domaines en mathématiques et en physique. Cette collaboration s’est avérée fructueuse, et l’étudiant M. Ghabries a publié cinq articles dont quatre avec ses directeurs de thèse au Liban (dans Math. Inequal. Appl., Lin. Algebra and its applications, linear and multilinear algebra, et Operators and matrices), le quatrième avec ses directeurs et moi-même (Lin. Alg. And its App.) . Un cinquième article (à quatre, dont moi-même) est en cours. Mr Ghabries est en ce moment à Santiago, Espagne, ayant obtenu ce semestre une bourse de recherche du Liban et de l’Espagne.
La visite de Mr Abbas aurait plusieurs objectifs :

1. Continuer notre collaboration scientifique en espérant améliorer nos résultats et s’attaquer à des nouveaux problèmes. Plus précisément, on essaye de remplacer les valeurs propres dans certaines inégalités logarithmiques entre matrices semi-définies positives par les valeurs singulières (travail en cours). Celles-ci ayant été conjecturées par Hiai, Lin (2017 « On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product », Lin. Alg. And Apl.) et Lemos, et Soares (2018, « Some log-majorizations and an extention of a determinantial inequality, même journal).

2. Commencer une collaboration dans la théorie des semi-groupes numériques et affines, en particulier la conjecture de Wilf prédictant des inégalités entre quelques invariants d’un semi-groupe, et les possibles liens entre les semi-groupes affines et le problème du plongement d’un plan dans l’espace affine.

3. Préparer la soutenance de thèse de Mr Ghabries.

Le but de ce séjour est d'explorer, en collaboration également avec F. Hérau, le spectre d'opérateurs de Schrödinger avec des potentiels électriques à valeurs complexes, sur des ouverts bornés bidimensionnels portant les conditions de Dirichlet. Il s'agira de dériver des opérateurs effectifs non-auto-adjoints permettant la description du spectre, à l'aide d'estimées fines de la résolvante des opérateurs en jeu.

Dans une série de deux articles en collaboration avec Andrew Sanders, David Dumas étudie les déformations et l’uniformisation de variétés compactes complexes définies à partir de représentations Anosov. Ils montrent en particulier que les familles Anosov considérées réalisent toutes les déformations infinitésimales en un point donné. Il est naturel – et d’ailleurs les auteurs mentionnent explicitement ce problème dans leur deuxième papier – de chercher à globaliser ces résultats en comparant d’une part la variété de caractères associée, et d’autre part, le champ de Teichmüller tel que je l’ai défini dans un article récent publié au Journal de l’Ecole Polytechnique. Au cours de ce séjour, nous espérons confronter nos techniques et nos cultures et avancer sur cette voie. Il est aussi prévu des discussions avec Florestan Martin-Baillon (David Dumas et lui ont déjà entamé un projet de recherche) et avec Théo Jamin qui a fait sa thèse sur un sujet proche.