La théorie des courbes planes algébriques ayant une place à l’infini a été développée par S.S. Abhyankar et T.T. Moh dans leur démonstration de l’unicité du plongement d’une coordonnée dans la plan. Depuis, plusieurs auteurs se sont intéressés au comportement de telles courbes lorsqu’elles sont singulières. Un résultat de M. Zaidenberg et V. Lin montre que si une courbe ayant une place à l’infini ne possède que des cusps comme singularités, alors elle n’en possède q’un dans le plan affine. La démonstration du résultat utilise la géométrie des surfaces, et des tentatives pour une preuve algébriques se sont arrêtées à des cas particuliers (Abhyankar-Sathaye, 1993, par exemple). Après avoir écrit un survey sur les courbes avec une place à l’infini (soumis aux Proceedings de la conférence TCA, Aveiro, 2024), on a commencé à étudier le résultat de Lin-Zaidenberg par la voie de la théorie des résultants et des séries de Puiseux. Nos méthodes permettent de couvrir le cas démontré par Abhyankar-Sathaye (et aussi le résultat d’ Abhyankar-Moh dans le cas lisse), et on espère pouvoir donner avec ces méthodes une preuve du résultat général.

Mr W. Mahboub codirige avec moi la thèse de R . Hamié (en cotutelle avec l’université libanaise). Sa visite devrait permettre aussi d’avancer dans ce projet.

Ma collaboration avec H. Abbas a commencé avec mon intervention (il y a cinq ans) dans le Master « Disrcete maths and algebra » dont H. Abbas est un des responsables, et a abouti à une collaboration avec une thèse de cotutelle avec le département de mathématiques dans le domaine des matrices et leurs inégalités souvent liées à des applications dans différents domaines en mathématiques et en physique. Cette collaboration s’est avérée fructueuse, et l’étudiant M. Ghabries a publié cinq articles dont quatre avec ses directeurs de thèse au Liban (dans Math. Inequal. Appl., Lin. Algebra and its applications, linear and multilinear algebra, et Operators and matrices), le quatrième avec ses directeurs et moi-même (Lin. Alg. And its App.) . Un cinquième article (à quatre, dont moi-même) est en cours. Mr Ghabries est en ce moment à Santiago, Espagne, ayant obtenu ce semestre une bourse de recherche du Liban et de l’Espagne.
La visite de Mr Abbas aurait plusieurs objectifs :

1. Continuer notre collaboration scientifique en espérant améliorer nos résultats et s’attaquer à des nouveaux problèmes. Plus précisément, on essaye de remplacer les valeurs propres dans certaines inégalités logarithmiques entre matrices semi-définies positives par les valeurs singulières (travail en cours). Celles-ci ayant été conjecturées par Hiai, Lin (2017 « On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product », Lin. Alg. And Apl.) et Lemos, et Soares (2018, « Some log-majorizations and an extention of a determinantial inequality, même journal).

2. Commencer une collaboration dans la théorie des semi-groupes numériques et affines, en particulier la conjecture de Wilf prédictant des inégalités entre quelques invariants d’un semi-groupe, et les possibles liens entre les semi-groupes affines et le problème du plongement d’un plan dans l’espace affine.

3. Préparer la soutenance de thèse de Mr Ghabries.

Raheleh Jafari est une spécialiste des semi-groupes numériques (propriétés Cohen Macauly, semi-groupes homogènes). La visite a pour but d’initier une collaboration dans le domaine des semi-groupes affines, en particulier l’étude des vecteurs de Frobenius et leurs applications dans le théorie des singularités. Cette notion generalise celle du nombre de Frobenius d’un semi-groupe numérique.