Des processus à longue mémoire apparaissent souvent dans des applications : phénomènes naturels (hydrologie), sociaux et économiques (connexions de télécommunication, les prix des actifs, les turbulences). Ces signaux présentent une propriété de "longue mémoire". Dans le cas stationnaire, les méthodes issues de l'analyse harmonique et, plus largement, des ondelettes sont très efficaces mais l'applicabilité générale de ces méthodes aux séries temporelles non stationnaires reste très limitée.

Le but de ce projet est de développer une théorie spectrale plus générale qui capturerait les processus non-stationnaires avec une dépendance à longue distance en temps discret. Il s'inspire des méthodes classiques d'analyse des équations intégrales avec des noyaux de différence faiblement singuliers et de leurs applications récentes aux processus stochastiques avec une structure de covariance fractionnaire.

In this project, our interest is to develop numerical scheme for a class of BSDEs with weak terminal condition. This class of BSDEs was introduced by Bouchard, Elie and Reveillac [1], in which the terminal value YT of the portfolio is required to satisfy a weak constraint. From a financial point of view, this approach is referred to as quantile or efficient hedging, and was first discussed by F ̈ollmer and Leukert [2, 3]. In particular, they explained how the so-called quantile hedging price for European option can be computed explicitly in a complete market, using duality arguments and Neyman-Pearson lemma.

References [1] Bruno Bouchard, Romuald Elie, and Antony Rveillac. Bsdes with weak terminal con- dition. The Annals of Probability, 43(2):572–604, 2015.

[2] Hans F ̈ollmer and Peter Leukert. Quantile hedging. Finance Stoch., 3(3):251–273, 1999.

[3] Hans F ̈ollmer and Peter Leukert. Efficient hedging: cost versus shortfall risk. Finance Stoch., 4(2):117–146, 2000.

Notre collaboration porte, d’une part, sur la statistique asymptotique des processus fractionnaires. Nous avons notamment défini la notion d’efficacité asymptotique dans une expérience statistique singulière impliquant le bruit gaussien fractionnaire. Dans cette expérience, l’estimateur de maximum de vraisemblance est asymptotiquement efficace mais généralement long à calculer. Pour remédier à ce problème, j’ai proposé́ des procédures d’estimation one-step asymptotiquement efficaces elles aussi mais rapides à calculer [2]. Masaaki, de son côté, a proposé un estimateur de type Whittle [3].

Nous souhaiterions étendre ces résultats au processus d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire observé à haute-fréquence pour lequel notre preuve ne fonctionne plus.

Nous discuterons également des nouvelles procédures d’estimation efficace dans les processus de diffusion à coefficients singuliers et dans les processus markoviens à régimes.

[1] A. Brouste and M. Fukasawa (2018) Local asymptotic normality property for fractional Gaussian noise under high-frequency observations, The Annals of Statistics, 46(5), 2045-2061.

[2] A. Brouste, M. Soltane and E. Votsi (2020) One-step estimation for the fractional Gaussian noise model at high-frequency, ESAIM PS, 24, 827-841.

[3] M. Fukasawa et T. Takabatake (2019) Asymptotically efficient estimators for self-similar stationary Gaussian noises under high frequency observations, Bernoulli, 25, 1870-1900.

Le Laboratoire Manceau de Mathématiques (Le Mans Université) et l'Institut du Risque et de l'Assurance du Mans recherchent un Ingénieur de recherche Statistiques / Mathématiques Appliquées / Actuariat pour une durée de 1 an.

Date de début du contrat : janvier 2022
Date limite de candidature : 10 décembre 2021

Fiche de poste

La "journée des nouveaux recrutés de la fédération" aura lieu la matinée du vendredi 8 octobre prochain en format hybride au Laboratoire Manceau de Mathématiques (Faculté des Sciences & Techniques, Avenue Olivier Messiaen, Le Mans) et en ligne.
lien zoom

********* programme **********

9h00 arrivée au Mans
09h15-10h00 : Youssef Esstafa (LMM, Le Mans) : Estimation et validation des modèles FARIMA faibles
10h00-10h45 : Vestislav Apostolov (LMJL, Nantes) : Métriques canoniques en géométrie kahlérienne
10h45 : pause
11h00-11h45 : Jean-baptiste Campesato (LAREMA, Angers) : Solutions de classe Cᵐ d'équations semi-algébriques
11h45-12h30 : Kilian Raschel (LAREMA, Angers) : Probabilités de persistance et polynômes de Mallows-Riordan
12h30-14h00 : repas (facultatif)

********* résumés **********

Youssef Esstafa (LMM, Le Mans) : Estimation et validation des modèles FARIMA faibles
Dans ce travail, nous considérons le problème de l'analyse statistique des modèles FARIMA (Fractionally AutoRegressive Integrated Moving-Average) induits par un bruit blanc non corrélé mais qui peut contenir des dépendances non linéaires très générales. Ces modèles sont appelés FARIMA faibles et permettent de modéliser des processus à mémoire longue présentant des dynamiques non linéaires, de structures souvent non-identifiées, très générales. Relâcher l'hypothèse d'indépendance sur le terme d'erreur, une hypothèse habituellement imposée dans la littérature, permet aux modèles FARIMA faibles d'élargir considérablement leurs champs d'application en couvrant une large classe de processus à mémoire longue non linéaires.

Vestislav Apostolov (LMJL, Nantes) : Métriques canoniques en géométrie kahlérienne
Motivé par le théorème d’uniformisation des surfaces de Riemann, dans les années 1950 E. Calabi a amorcé le programme de trouver,  dans chaque classe de deRham de métriques kahlériennes sur une variété complexe compacte,  une représentante canonique dont la courbure scalaire est constante.  Dans le cas où la première classe de Chern de la variété est nulle, S.-T Yau a démontré dans les années 1970 que le problème de Calabi possède unique solution, appelée aujourd’hui une métrique de Calabi-Yau. En général, l’existence de métriques kahlériennes à courbure scalaire constante est obstruée. Tian et Donaldson ont dessiné les grandes lignes de la théorie d'existence que beaucoup ont suivies par la suite pour rendre le domaine florissant.  Dans cet exposé,  je introduirai la conjecture d’Yau-Tian-Donaldson qui donne une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une métrique kahlérienne à courbure scalaire constante,  exprimée en termes de la K-stabilité de la variété sous-jacente,  et j'expliquerai comment généraliser cette conjecture pour d’autres métriques kahlériennes avec des propriétés de courbure spéciale.

Jean-baptiste Campesato (LAREMA, Angers) : Solutions de classe Cᵐ d'équations semi-algébriques
Nous nous intéressons aux deux problèmes suivants :
(1) Le problème de prolongement de Whitney consistant à déterminer si une fonction g:X→ℝ définie sur un fermé X⊂ℝⁿ admet un prolongement de classe Cᵐ sur ℝⁿ
(2) Le problème de Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár portant sur l'existence d'une solution G pour un système A(x)G(x)=F(x) où A est une matrice de fonctions définies sur ℝⁿ
Dans un travail en collaboration avec E. Bierstone et P.D. Milman nous démontrons que si les données de ces problèmes sont semi-algébriques  (ou plus généralement définissables dans une structure o-minimale vérifiant certaines propriétés) alors il en est de même pour leurs solutions. Néanmoins nos résultats impliquent une perte de régularité.
Formellement, pour (1), nous montrons que pour X semi-algébrique, il existe r:ℕ→ℕ telle que si g:X→ℝ semi-algébrique admet un prolongement de classe Cʳ⁽ᵐ⁾ alors g admet un prolongement semi-algébrique de classe Cᵐ.
Concernant (2), nous montrons qu'étant donnée A semi-algébrique, il existe r:ℕ→ℕ telle que si F est semi-algébrique et si A(x)G(x)=F(x) admet une solution G de classe Cʳ⁽ᵐ⁾, alors il existe une solution semi-algébrique de classe Cᵐ.

Kilian Raschel (LAREMA, Angers) : Probabilités de persistance et polynômes de Mallows-Riordan. Etant donnée une suite de variables aléatoires réelles X(1), X(2), etc., sa probabilité de persistance est la probabilité que les n premières variables soient toutes positives. Intéressantes du seul point de vue mathématique, ces quantités ont aussi beaucoup d'applications en physique. Dans cet exposé nous étudierons le cas où la suite de variables est auto-regressive d'ordre 1, c'est-à-dire lorsque X(n+1)=a*X(n)+U(n+1). Dans ce contexte, a est un paramètre et les variables U(1), U(2), etc., sont appelées innovations et forment une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées. Le plus souvent, seules des estimées asymptotiques sont obtenues sur la persistance. Dans ce travail en commun avec Gerold Alsmeyer (Münster), Alin Bostan (Inria Saclay) et Thomas Simon (Lille), nous considérons le cas particulier où les U(1), U(2), etc., suivent des lois uniformes sur un intervalle. Nous montrons un lien surprenant entre les probabilités de persistance associées et une famille de polynômes bien connue en combinatoire : les polynômes de Mallows-Riordan. De cette connexion nous déduisons un dictionnaire entre identités combinatoires sur les polynômes de Mallows-Riordan et propriétés probabilistes du modèle de persistance. 
This project has received funding from the European Research Council (ERC) under the European Union's Horizon 2020 research and innovation programme under the Grant Agreement No. 759702.
Information about the project

The candidate will work on the Le Cam estimation procedure in autoregressive processes driven by stationary Gaussian noise and random coefficient autoregressive processes. The relation between this methodology and recent machine learning procedures will also be discussed during the postdoctorate. Autoregressive processes are relatively common in the analysis of temporal series in insurance.

Particularly, the joint estimation of the drift parameter, variance parameter and Hurst parameter in the autoregressive process driven by the fractional Gaussian noise will be considered. This work follows recent works on the topic:

[1] A. Brouste, C. Cai and M. Kleptsyna (2014) Asymptotic properties of the MLE for the autoregressive process coefficients under stationary Gaussian noises, Mathematical Methods of Statistics, 23(2), 103-115

[2] Marius Soltane (2018) Asymptotic efficiency in the autoregressive process driven by a stationary Gaussian noise, hal-01899971.

[3] A. Brouste, C. Cai, M. Soltane and L. Wang (2020) Testing for the change of the mean-reverting parameter of an autoregressive model with stationary Gaussian noise, Statistical Inference for Stochastic Processes, 23(2), 301-318.

Après avoir caractérisé l'action du groupe de Galois de Q sur l'inertie champêtre cyclique des espaces de modules de courbes pointées (cf. les articles [1] et [2]), nous souhaitons maintenant procéder à une étude semblable pour des groupes d'inertie non cycliques (abéliens ? résolubles ? ...). Afin d'initier cette recherche, je souhaite inviter Benjamin Collas (postdoc à Bayreuth) au Mans pendant une semaine.

[1] B. Collas & S. Maugeais, Composantes irréductibles de lieux spéciaux d'espaces de modules de courbes, action galoisienne en genre quelconque, Annales de l'Institut Fourier, 2014 [2] B. Collas & S. Maugeais, On Galois Action on Stack Inertia of Moduli Spaces of Curves, 2014 (25 pages, soumis).

Oleg Chernoyarov is professor of Moscow Power Institute and works in statistical radiophysics. The goal of his visit is to continue the cooperation started 6 years ago in the field of detection and estimation of signals observed in different noises. It is supposed to study stochastic models related with GPS-localization and to describe the errors of estimation in the case of corresponding hidden Markov models .

Le Laboratoire Manceau de Mathématiques (LMM) de la faculté des Sciences et techniques organise le jeudi 10 octobre la Journée «Filles et Maths: une équation lumineuse» à l’Institut du Risque et de l’Assurance. Proposé par les associations nationales Animath et Femmes & Mathématiques, depuis 2009, ce temps d’échanges et de découverte est mis en place partout en France. Le Mans sera la première Université à promouvoir cet événement dans la région des Pays de Loire.

Cette journée, qui s’adresse spécifiquement aux lycéennes, a pour but d’informer sur les métiers liés aux mathématiques, de travailler sur le poids des stéréotypes de genre en lien avec les mathématiques, et plus généralement de les encourager à s’engager dans des études supérieures scientifiques de formuler un projet professionnel ambitieux. Cristina Di Girolami, Sarah Kaakaï et Marie-Amelie Morlais, enseignantes-chercheuses au LMM, soutenues par le Service d’information et d’orientation (SUIO-IP) via le projet Thélème, ont proposé à des lycées mayennais et sarthois de participer. Au total 71 lycéennes de première et terminale participeront à cette journée animée par plus de 20 intervenantes.

En savoir +

Alexander Veretennikov est professeur de mathématiques à l'Université de Leeds (UK). Il est un probabiliste et statisticien, son domaine d’expertise contient les équations différentielles stochastiques et approximations ; processus de Markov, estimations paramétriques, grandes déviations. Il est un expert très reconnu à l’échelle internationale dans le domaine du filtrage et statistique des processus.

Lors de sa visite on va travailler sur les deux sujets ci-dessous en statistique des processus stochastiques :

• stabilité́ d'un filtre non-linéaire optimale par rapport à des petites perturbations sur les paramètres du modèle ;
• stabilité d’un filtre optimal par rapport aux données initiales erronées perturbées par les bruits fractionnaires.