Nous considérons un problème inverse géométrique où une partie inconnue de la frontière du domaine est construite à partir de la connaissance de conditions aux limites partiellement surdéterminées. Nous proposons une méthode de résolution de ce problème dont l'essence consiste à résoudre un problème de Cauchy pour les équations de Poisson suivi de la résolution d'une série de problèmes non linéaires indépendants. Le problème de Cauchy, est reformulé en une équation intégrale de Fredholm de première espèce. Ensuite, une méthode de régularisation et une propriété de séparation de variables dans la fonction noyau sont utilisées pour obtenir une forme analytique de la solution régularisée. Les coordonnées de la partie inconnue de la frontière sont ensuite obtenues comme racines de certaines équations non linéaires en utilisant une méthode de type Newton.

Dans ce projet nous nous intéressons à la résolution du problème inverse de Cauchy pour l'équation de Poisson par des méthodes sans maillage. Nous développons une méthode semi-analytique basée sur l'approximation de la solution de ce problème par des ondelettes de Haar. Nous utilisons la technique de régularisation de Thikonov combinée à une stratégie de préconditionnement pour la résolution du système linéaire obtenu.

Ce projet de collaboration se focalise sur la résolution du problème inverse de Cauchy à l'aide d'un réseau neuronal profond (DNN). Ceci est dû à la variété des applications du problème de Cauchy dans la vie réelle, ce qui nous permettra d'utiliser un ensemble de données réelles. L'idée de résoudre ce modèle est basée sur l'interpolation de la solution du problème inverse par un réseau de neurones profond (DNN). Pour cette raison, notre étude se concentrera d'abord sur l'évaluation numérique de différentes architectures récemment proposées dans le domaine de l'apprentissage automatique. Ensuite, nous proposons une nouvelle architecture à haute capacité avec des justifications théoriques, et nous essayons d'utiliser différents types de méthodes d'optimisations pour améliorer les résultats obtenus.

Fatima Aboud Alsamaraie est directrice du département de mathématiques de l'université de Diyala, Irak. Elle est Coordinatrice des activités du CIMPA en Irak et présidente du commité West Asian Mathematical Schools du CIMPA. Elle est l’invitée d’Abdeljalil NACHAOUI au Laboratoire de Mathématiques Jean Leray du 1er juillet au 31 août 2019. Son séjour à Nantes est l'occasion d'approfondir une collaboration qui porte sur la résolution mathématique et numérique des problèmes inverses de reconstruction de données sur le bord, régis par l'équation de Helmholtz. Nous travaillerons sur une technique d'accélération de la convergence et confirmerons nos résultats théoriques par l'implémentation de quelques exemples numériques.

Abdelkrim CHAKIB est directeur du laboratoire de mathématiques de la faculté des sciences et techniques de l’université Sultan Moulay Slimane, au Maroc. Il est l’invité de Abdeljalil NACHAOUI au Laboratoire de Mathématiques Jean Leray du 11 au 31 décembre 2017. Son séjour à Nantes est l'occasion d'approfondir une collaboration qui portent sur l’analyse multi-échelle d’un modèle de transfert de la chaleur dans des milieux poreux périodiques, avec un terme d’échange complexe qui décrit des situations physiques concrètes.

Abdelkrim CHAKIB est directeur du laboratoire de mathématiques de la faculté des sciences et techniques de l’université l'Université Sultan Moulay Slimane, au Maroc. Il est coauteur de plusieurs publications avec A. BOULKHEMAIR et A. NACHAOUI membres du LMJL. Il sera l’invité de Abdeljalil NACHAOUI au laboratoire de mathématiques Jean Leray à Nantes du 01 juin au 30 juin 2016. Son séjour à Nantes est l'occasion d'approfondir leur collaboration sur l’analyse mathématique et la simulation numérique de problèmes inverses en médecine.