In this project, our interest is to develop numerical scheme for a class of BSDEs with weak terminal condition. This class of BSDEs was introduced by Bouchard, Elie and Reveillac [1], in which the terminal value YT of the portfolio is required to satisfy a weak constraint. From a financial point of view, this approach is referred to as quantile or efficient hedging, and was first discussed by F ̈ollmer and Leukert [2, 3]. In particular, they explained how the so-called quantile hedging price for European option can be computed explicitly in a complete market, using duality arguments and Neyman-Pearson lemma.

References [1] Bruno Bouchard, Romuald Elie, and Antony Rveillac. Bsdes with weak terminal con- dition. The Annals of Probability, 43(2):572–604, 2015.

[2] Hans F ̈ollmer and Peter Leukert. Quantile hedging. Finance Stoch., 3(3):251–273, 1999.

[3] Hans F ̈ollmer and Peter Leukert. Efficient hedging: cost versus shortfall risk. Finance Stoch., 4(2):117–146, 2000.

Le parrain et l'invité ont une collaboration établie depuis longtemps au sujet des statistiques multiplicatives associées aux processus ponctuels déterminantaux. Ils ont co-signé deux articles, publiés sur Communications in Mathematical Physics et Journal of the London Mathematical Society. Dans le dernier article, « Integrable equations associated with the finite-temperature deformation of the discrete Bessel point process », ils ont appliqué la théorie des noyaux intégrables discrets, dans le sens de Borodin, pour prouver que les statistiques multiplicatives associées aux noyaux de Bessel discret satisfont les équations de Toda bi-dimensionnelle (ou, plus précisément, une réduction de celles ci, les équations de Toda cylindriques). Ils souhaitent maintenant appliquer le même approche aux noyaux discrets de Hermite et Laguerre. Des résultats préliminaires ont été déjà obtenus. Giulio Ruzza sera orateur invité pour une conférence organisé à Angers du 22 au 27 mai. En tant qu'orateur, son sejour pendant la conférence est financé par le CNRS.

A basic question in symplectic topology is that of understanding which 2n‐dimensional smooth closed manifolds admit a symplectic structure. There are some obvious homotopical requirements, such as the existence of a cohomology 2‐class whose exterior wedge powers are all non‐zero (up to the maximal degree of the non‐zero cohomology groups) and of a non‐degenerate alternating 2‐form. In dimension 2n=4, Taubes '94 found some additional non‐trivial necessary conditions coming from the deep theory of Seiberg‐Witten invariants. This said, at this time it is still unknown whether there are some non‐trivial geometric conditions in the case of dimensions 2n>4.

The research visit of Agustin Moreno is in relation to a joint work of ours together with Lauran Toussaint and Francisco Presas, where we aim to prove that, given any smooth closed 4‐manifold M where all the homotopical necessary conditions to have a symplectic form are satisfied, its product MxT^2 with the 2‐torus T^2 admits a symplectic structure. In other words, up to stabilizing the 4‐manifold by taking a product with the 2‐torus, the non‐trivial geometric conditions of the 4‐dimensional case are no longer important.

Nous considérons un problème inverse géométrique où une partie inconnue de la frontière du domaine est construite à partir de la connaissance de conditions aux limites partiellement surdéterminées. Nous proposons une méthode de résolution de ce problème dont l'essence consiste à résoudre un problème de Cauchy pour les équations de Poisson suivi de la résolution d'une série de problèmes non linéaires indépendants. Le problème de Cauchy, est reformulé en une équation intégrale de Fredholm de première espèce. Ensuite, une méthode de régularisation et une propriété de séparation de variables dans la fonction noyau sont utilisées pour obtenir une forme analytique de la solution régularisée. Les coordonnées de la partie inconnue de la frontière sont ensuite obtenues comme racines de certaines équations non linéaires en utilisant une méthode de type Newton.

L’objectif de la collaboration est d’étudier les liens entre les Kato limites [Carron, Mondello, Tewodrose 2021] qui sont les espaces limites de variétés riemanniennes à courbure de Ricci dans une classe de Kato uniforme, et les espaces de Dirichlet « tamed » [Erbar-Rigoni-Sturm-Tamanini 2020, Braun 2021] qui satisfont une condition synthétique de courbure de Ricci dans une classe de Kato. Il s’agira de mettre en perspective les résultats connus dans chacun de ces deux cadres afin qu’ils apportent un éclairage nouveau l’un sur l’autre. On recherchera également une condition lagrangienne équivalente à la condition eulérienne des espaces de Dirichlet « tamed », dans l’esprit de la formulation en terme de transport optimal des conditions de courbure-dimension CD(K,N) introduites par Lott, Sturm et Villani.

Lauran Toussaint, Klaus Niederkruger et moi avons une collaboration en cours sur le thème des feuilletages symplectiques en grandes dimensions. Les feuilletages symplectiques sur les variétés de dimensions impaires sont des feuilletages de codimension 1 pour lesquels il existe une 2- forme sur la variété ambiante qui est symplectique (i.e. non dégénérée et fermée) sur chaque feuille. Si la 2-forme est en plus fermée sur la variété ambiante, le feuilletage est dit symplectique fort. L’interêt pour ce type de feuilletage est motivé par des résultats plutôt récents qui montrent qu’ils sont des objets assez « rigides », i.e. qui n’existent pas sur toute variété de dimension impaire (où il n’y a pas d’obstructions homotopiques), mais qui au contraire donnent des contraintes non banales sur la topologie de la variété ambiante. Dans notre travail en collaboration (en phase de termination), nous donnons une obstruction pour qu’un feuilletage symplectique soit symplectique fort, qui prend la forme d’une sous variété feuilletée qui est dans un certain sens analogue au Plastikstufe introduit par Niederkruger ‘06 dans le cas des variétés de contact.

Dans ce projet nous nous intéressons à la résolution du problème inverse de Cauchy pour l'équation de Poisson par des méthodes sans maillage. Nous développons une méthode semi-analytique basée sur l'approximation de la solution de ce problème par des ondelettes de Haar. Nous utilisons la technique de régularisation de Thikonov combinée à une stratégie de préconditionnement pour la résolution du système linéaire obtenu.

L'objectif général est d'étudier les grandes déviations pour un ensemble bi-orthogonal ; et de généraliser les résultats déjà obtenus pour des ensembles orthogonaux de matrices aléatoires. Le modèle étudié, connu sous le nom d'ensemble Muttalib --Borodin, peut également être décrit en termes de chemins maximaux dans un environnement aléatoire, appelés percolations de dernier passage. Par conséquent, un autre objectif serait de caractériser les grands écarts du dernier temps de passage, en corollaire du résultat obtenu pour l'ensemble bi-orthogonal.

Le but de ce projet entre dans le cadre de la coopération entre des membres du Laboratoire de Mathématiques Jean Leray de Nantes Université et de Mourad NACHAOUI, ancien doctorant de notre laboratoire et actuellement professeur habilité à l'Université Sultan Moulay Slimane, Beni Mellal, Maroc. Deux types de travaux scientifiques seront considérés durant ce séjour. Le premier travail consiste résoudre un problème mal posé issu du traitement d'image en utilisant une nouvelle approche basée l'assimilation des données. Concrètement nous traitons l'estimation du flot optique en présence du bruit. Quant au deuxième travail il vise à finaliser certains problèmes déjà entamés en collaboration avec les collègues du Laboratoire de Mathématiques Jean Leray. Un premier problème consiste à proposer une nouvelle formulation en contrôle optimal pour résoudre un problème inverse de reconstruction de données aux bord. Quant au deuxième problème il consiste à finaliser le problème de la résolution d’un modèle inverse appliqué à la prévision météorologique.

Nous comptons travailler sur l’étude de phénomène de rigidité et de flexibilité en géométrie localement conformément symplectique. Ces variétés ont le même géométrie locales que les variété symplectique mais les changement de cartes peuvent modifier le volume symplectique. Des théorème d’existences générales montrent que c’est une relation flexible et nous volons nous intéresser à certaines propriétés de celles-ci rendant ces variétés rigides. Une de ces propriétés (que nous avons déjà commencé à étudier à distance) est le fait que la variété apparaissent comme déformation d’une vraie structure symplectique (par le théorème de Lefschetz fort cela sort de monde de la géométrie Kaehler). L’existence de telle déformation est reliée à l’existence d’hypersurface de contact non-séparante, la construction de telle hypersurface (ou l’obstruction à l’existence de celles-ci) est aussi un des axes que nous aimerions explorer.