Thème de la collaboration : Théorie spectrale du laplacien magnétique avec condition de Robin.
Il s’agit d’explorer les propriétés spectrales (semiclassique) du Laplacien magnétique sur un ouvert qui porte les conditions de Robin. L’idée serait de mettre en oeuvre une réduction de dimension microlocale afin d’estimer les petites valeurs propres de l’opérateur, en examinant la possible compétition entre l’intensité du champ magnétique et la condition de Robin. Actuellement, les seuls résultats connus concernent la première valeur propre (et ont été obtenus par A. Kachmar en 2007). Cela mènerait aussi à l’étude de l’effet tunnel, dans le cas d’une symétrie du domaine (analyse BKW, estimées d’Agmon, matrice d’interaction). Cette collaboration serait une opportunité pour Rayan Fahs, doctorante à Angers, ou pour Bernard Helffer, à Nantes, qui s’intéressent également à ce sujet.

The candidate will work on the Le Cam estimation procedure in autoregressive processes driven by stationary Gaussian noise and random coefficient autoregressive processes. The relation between this methodology and recent machine learning procedures will also be discussed during the postdoctorate. Autoregressive processes are relatively common in the analysis of temporal series in insurance.

Particularly, the joint estimation of the drift parameter, variance parameter and Hurst parameter in the autoregressive process driven by the fractional Gaussian noise will be considered. This work follows recent works on the topic:

[1] A. Brouste, C. Cai and M. Kleptsyna (2014) Asymptotic properties of the MLE for the autoregressive process coefficients under stationary Gaussian noises, Mathematical Methods of Statistics, 23(2), 103-115

[2] Marius Soltane (2018) Asymptotic efficiency in the autoregressive process driven by a stationary Gaussian noise, hal-01899971.

[3] A. Brouste, C. Cai, M. Soltane and L. Wang (2020) Testing for the change of the mean-reverting parameter of an autoregressive model with stationary Gaussian noise, Statistical Inference for Stochastic Processes, 23(2), 301-318.

Pendant le séjour de M. Ruzza, nous nous proposons d'étudier une classe particulière de processus ponctuels récemment introduite par Le Doussal, Majumdar et Schehr. Notre but est de relier ces processus à des équations intégro-différentielles du type Painlevé.

La mission se déroulera la première semaine à Nantes sous mon parrainage puis la seconde semaine à Angers sous le parrainage de N. Raymond mais le projet est commun.

L'effet tunnel pour le laplacien de Robin
Récemment, nous (=Kachmar-Helffer-Raymond) avons étudié le spectre du Laplacien de Robin dans un ouvert O à bord régulier dans R2. Nous avons analysé lorsque O est symétrique avec deux points de courbure maximale (typiquement une ellipse) l'effet tunnel intervenant dans le calcul des deux premières valeurs propres de cet opérateur.
Il reste à comprendre l'effet tunnel dans les situations suivantes:
-Le cas où O est dans R3 (il y a quelques résultats préliminaires par Pankrashkin-Popoff) ;
-Le cas où O est dans R2 mais avec un champ magnétique.
Ces exemples sont importants parce qu'ils montrent comment l'effet tunnel peut être induit par la géometrie du domaine.

La fonctionnelle de Ginzburg-Landau avec un champ magnétique variable
Cette fonctionnelle de Ginzburg-Landau décrit le comportement d'un supraconducteur de type II soumis a un champ magnétique extérieur H B(x) dans un ouvert simplement connexe O du plan et dépend d’un paramètre de Landau k.

Le comportement de l’énergie associée dans le cas où B est constant est bien compris lorsque le paramètre de Landau k et l’intensité H tendent vers l’infini. Le cas où B est non constant est abordé dans le livre de Fournais-Helffer puis dans les travaux émanant de la thèse de K. Attar (codirigé par B. Helffer et A. Kachmar). Le cas où B change de signe dans O est aussi considéré (voir aussi la thèse de J.P. Miqueu codirigée par M. Dauge et N. Raymond et celle de K. Attar) mais il reste à analyser des situations où la supraconductivité va apparaître à l’intersection du bord et de la courbe de changement de signe de B.

Références
K. Attar. The ground state energy of the two dimensional Ginzburg-Landau functional with variable magnetic field. Anal. de l’IHP- Anal Non-Linéaire Vol. 32 (2015) .

K. Attar. Energy and vorticity of the Ginzburg-Landau model with variable magnetic field. Asymptot. Anal. Vol. 93 (2015).

S. Fournais, B. Helffer. Spectral Methods in Surface Superconductivity. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. 77 Birkhauser (2010).

B. Helffer, A. Kachmar. The Ginzburg-Landau functional with a vanishing magnetic field. Arch. Ration. Mech. Anal. 218 (2015).

B. Helffer, A. Kachmar. From constant to non-degenerately vanishing magnetic fields in superconductivity. Anal. de l’IHP- Anal. Non-Linéaire 34 (2017).

B. Helffer, A. Kachmar, N. Raymond. Tunneling for the Robin Laplacian in smooth planar domains. Commun. Contemp. Math. 19 (2017).

J.P. Miqueu. équation de Schroedinger avec un champ magnétique qui s’annule. Thèse de doctorat, Universté de Rennes. (2016)

E. Sandier, S. Serfaty. Vortices in the Magnetic Ginzurg-Landau Model. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, vol.70, Birkhauser, (2007).

Le groupe de Cremona en n-variables est le groupe des transformations birationnelles de l’espace projective de dimension n. En 2006, Julie Désérti a démontré que tous les automorphismes du groupe de Cremona en deux variables sur le corps des nombres complexes sont donnés par conjugaison, à automorphisme du corps de base prés. Ce résultat est aussi vrai pour le groupe des automorphismes polynomiaux du plan. Let but de ce projet est de généraliser ces résultats vers deux directions. D’abord on essaye de redémontrer le théorème de Déserti avec des techniques différentes pour que la preuve marche aussi pour d’autre corps de base, notamment en charactéristique positive. Après, le but est de généraliser le théorème de Déserti pour des groupes de Cremona en plus que deux variables. Pour rendre la question plus accessible on se concentra d’abord sur les automorphismes des groupes de Cremona qui sont continu par rapport à la topologie de Zariski et par rapport à la topologie euclidienne.

Christian Urech a obtenu son doctorat en cotutelle entre l’université de Rennes 1 et l’université de Bâle sous la direction de Serge Cantat de Jérémy Blanc, en 2017. Il recherche les structures des groupes de Cremona avec des méthodes de la géométrie birationnelle, de la théorie des actions des groupes algébriques et de la théorie géométrique des groupes. Depuis Janvier 2018 il est postdoc à Imperial College London sous la direction de Paolo Cascini.

HIDEYUKI ISHI est un éminent mathématicien japonais, professeur à l'Université de Nagoya, spécialiste de l'analyse harmonique sur les cônes convexes, des groupes de Lie et des algèbres(de Jordan, de Vinberg, $j$-algèbres) liées à ces cônes ainsi que de la théorie de représentations sur ces structures.

Il collabore avec Piotr Graczyk depuis 2010, sur les applications de son domaine dans les statistiques mathématiques sur les matrices, et surtout pour les lois de Wishart, les analogues matriciels des lois $\chi^2$. Cette collaboration a apporté la publication mentionnée ci-dessous.

Nous travaillons actuellement sur les matrices de Wishart sur les cones liés aux graphs de type A_n et 3 pré-publications sont en cours de préparation:

[GIM] P. Graczyk, H. Ishi, S. Mamane, Riesz and Wishart distributions on the cones related to A_n graphs, preprint(2016), 54p.
[GIMO] P. Graczyk, H. Ishi, S. Mamane, H. Ochiai, ON LETAC-MASSAM CONJECTURE, preprint(2016), 12p.
[GIK] P. Graczyk, H. Ishi, B. Kolodziejek, Variance Function of Wishart Exponential Families on Homogeneous Cones, preprint(2016), 10p.

Nous voudrions continuer, de façon intensive, notre collaboration avec H.Ishi. Notre but sera de rechercher une théorie analytique et statistique universelle des matrices aléatoires de Wishart sur les cônes résultant des modèles graphiques, une branche moderne et importante des statistiques mathématiques. Nous envisageons d'exploiter l'approche via les applications quadratiques, introduite et développée dans [GI].

L'article [GIM], en préparation, est consacré à la classe très importante des cônes graphiques non-homogènes, les cônes liés aux graphes A_n. Les articles [GIMO] et [GIK] traitent les thèmes importants en statistiques multivariées: la classification des toutes les lois de type Wishart et leur fonction de variance.

L'objectif principal du séjour de H. Ishi au LAREMA à Angers sera de terminer la rédaction de ces travaux.

Après avoir caractérisé l'action du groupe de Galois de Q sur l'inertie champêtre cyclique des espaces de modules de courbes pointées (cf. les articles [1] et [2]), nous souhaitons maintenant procéder à une étude semblable pour des groupes d'inertie non cycliques (abéliens ? résolubles ? ...). Afin d'initier cette recherche, je souhaite inviter Benjamin Collas (postdoc à Bayreuth) au Mans pendant une semaine.

[1] B. Collas & S. Maugeais, Composantes irréductibles de lieux spéciaux d'espaces de modules de courbes, action galoisienne en genre quelconque, Annales de l'Institut Fourier, 2014 [2] B. Collas & S. Maugeais, On Galois Action on Stack Inertia of Moduli Spaces of Curves, 2014 (25 pages, soumis).

Oleg Chernoyarov is professor of Moscow Power Institute and works in statistical radiophysics. The goal of his visit is to continue the cooperation started 6 years ago in the field of detection and estimation of signals observed in different noises. It is supposed to study stochastic models related with GPS-localization and to describe the errors of estimation in the case of corresponding hidden Markov models .

Hisaaki Endo est un expert dans la topologie des variétés de dimension 4, en particulier dans la théorie des fibrations de Lefschetz et ses relations avec le mapping class group.

La collaboration de H. Endo et A. Pajitnov porte sur la théorie de Morse-Novikov pour les variétés de dimension 4, ainsi que sur les variétés de Inoue généralisées, introduites récemment dans nos prépublications.