Tomasz Grzywny is a renowned expert in Potential Theory and Harmonic Analysis for Laplacians and subordinated Laplacians (respectively Brownian Motions, Stable Processes and other subordinates of the Brownian Motion).

Our objective in the collaboration will be to obtain sharp estimates of transition probability functions (heat kernels) and other results in the Potential Theory of Dunkl stochastic processes with jumps, Weyl group-invariant (radial) Dunkl processes and of Brownian Dyson Motions in Weyl Chambers.

We will also start a project on applications of Dunkl stochastic processes with jumps in modelization of jumping financial phenomena.

HIDEYUKI ISHI est un éminent mathématicien japonais, professeur à l'Université de Nagoya, spécialiste de l'analyse harmonique sur les cônes convexes, des groupes de Lie et des algèbres(de Jordan, de Vinberg, $j$-algèbres) liées à ces cônes ainsi que de la théorie de représentations sur ces structures.

Il collabore avec Piotr Graczyk depuis 2010, sur les applications de son domaine dans les statistiques mathématiques sur les matrices, et surtout pour les lois de Wishart, les analogues matriciels des lois $\chi^2$. Cette collaboration a apporté la publication mentionnée ci-dessous.

Nous travaillons actuellement sur les matrices de Wishart sur les cones liés aux graphs de type A_n et 3 pré-publications sont en cours de préparation:

[GIM] P. Graczyk, H. Ishi, S. Mamane, Riesz and Wishart distributions on the cones related to A_n graphs, preprint(2016), 54p.
[GIMO] P. Graczyk, H. Ishi, S. Mamane, H. Ochiai, ON LETAC-MASSAM CONJECTURE, preprint(2016), 12p.
[GIK] P. Graczyk, H. Ishi, B. Kolodziejek, Variance Function of Wishart Exponential Families on Homogeneous Cones, preprint(2016), 10p.

Nous voudrions continuer, de façon intensive, notre collaboration avec H.Ishi. Notre but sera de rechercher une théorie analytique et statistique universelle des matrices aléatoires de Wishart sur les cônes résultant des modèles graphiques, une branche moderne et importante des statistiques mathématiques. Nous envisageons d'exploiter l'approche via les applications quadratiques, introduite et développée dans [GI].

L'article [GIM], en préparation, est consacré à la classe très importante des cônes graphiques non-homogènes, les cônes liés aux graphes A_n. Les articles [GIMO] et [GIK] traitent les thèmes importants en statistiques multivariées: la classification des toutes les lois de type Wishart et leur fonction de variance.

L'objectif principal du séjour de H. Ishi au LAREMA à Angers sera de terminer la rédaction de ces travaux.

Avec Patrice Sawyer nous avons une dizaine de publications, e.a. dans Journal Geometric Anal., J. Funct.Anal., J. Lie Theory, PAMS,
qui ont été couronné par un survey : P. Graczyk and P. Sawyer. The Convolution of orbital measures on symmetric spaces: a survey,Proceedings of the Conference Probability on Algebraic and Geometric Structures, Contemporary Mathematics, Vol. 668, 81-110, 2016.
Le contexte de notre travail actuel est constitué par les espaces symétriques associés aux groupes de mouvements de Cartan et aux systèmes de racines, ainsi qu’à l’analyse de Dunkl. Les applications probabilistes de notre travail concernent les Brownien de Dyson et les Browniens dans une chambre de Weyl.

1. L'historique de la collaboration. Depuis 15 ans, Piotr Graczyk collabore avec Patrice Sawyer dans le domaine de l'analyse harmonique et des probabilités sur les espaces symétriques, plus précisément sur la théorie de la formule du produit des fonctions sphériques et de la convolution des mesures orbitales. Ils ont publié une série de 9 articles entre 2002 et 2016. Les articles de cette série ont été publiés, entre autres, dans Journal of Functional Analysis, J.Lie Theory, Journal Geom. Analysis, Canadian J. Math., Pacific J. Math. Un couronnement, survey et complément de cette série de 9 articles est l’article : P. Graczyk, P. Sawyer, Convolution of orbital measures on symmetric spaces: a survey, Contemporary Mathematics 668 (2016), 81-110.
2. Projet de recherche : Nouvelles applications de la formule du produit des fonctions sphériques dans la théorie du potentiel, la théorie du noyau de la chaleur, la théorie du mouvement brownien de Dyson et la théorie de Dunkl. L'objectif de ce projet de recherche en 2018 est d'appliquer les résultats obtenus par P. Graczyk et P. Sawyer dans:
3. l'étude des noyaux intégraux importants en théorie du potentiel (noyau de Poisson, fonction de Green)
4. les estimations des fonctions sphériques sur les espaces symétriques plats (Cartan motion groups) Ceci renforcera de façon significative les résultats de 2 articles récents: S. Helgason, The bounded spherical functions on the Cartan motion group, arXiv:1503.07598, 1--7, 2015. P. Graczyk, T. Luks, M. Roesler, On the Green function and Poisson integrals of the Dunkl Laplacian, Potential Theory(2017).

Il est prévu d’élargir dans l’avenir ce projet, en y invitant T. Luks et M. Roesler de l’Universitat Paderborn en Allemagne. Ce projet s'inscrit dans l'axe scientifique "Analyse et probabilités" du laboratoire LAREMA, dont le développement, renforcement et élargissement ont été mis à l'avant dans la dernière évaluation du Laboratoire par le Ministère et le CNRS. Le caractère interdisciplinaire du projet s'inscrit dans le programme des applications des mathématiques soutenu par le laboratoire LAREMA.

Nous envisageons de résoudre le problème des estimations du noyau de Poisson par rapport aux laplaciens de Dunkl: - dans le cas géométrique, correspondant aux espaces symétriques euclidiens - pour le mouvement brownien de Dyson Nous allons nous baser sur les 2 articles communs: 1. P. Graczyk, T. Jakubowski, T. Luks , Martin representation and Relative Fatou Theorem for fractional Laplacian with a gradient perturbation, Positivity 17 (2013), 1043-1070. 2. P. Graczyk, T. Luks, M. Rösler, On the Green function and Poisson integrals of the Dunkl Laplacian, Potential Analysis (2017).

Patrice Sawyer est professeur à l'Université Laurentienne à Sudbury, Ontario, Canada. Il est un spécialiste mondialement reconnu de l'analyse harmonique, en particulier de la théorie des fonctions sphériques sur les espaces symétriques.Piotr Graczyk collabore depuis plusieurs années avec Patrice Sawyer, sur le sujet de la formule de produit sur les espaces symetriques. Il s'agit d'un projet de recherche à moyen terme.

Jacek MALECKI, Ecole Polytechnique de Wroclaw, Pologne
Collaboration avec Loïc Chaumont et Piotr Graczyk.

Dans un article à paraître aux Annales de l'IHP, L. Chaumont et J. Malecki ont étudié le comportement asymptotique en 0 de la densité du supremum passé d'un processus de Lévy satisfaisant à des hypothèses très générales. Le cas du comportement asymptotique en l'infini est beaucoup plus complexe à résoudre. Cependant, il semble au moins que dans les cas symétrique et complètement asymétrique, des comportements explicites puissent être donnés. Ce travail fera l'objet de la prochaine visite de Jacek Malecki. Dans une série des articles publiés dans Journal of Mathematical Physics (2013) et Electron. J. Probab.(2014) P. Graczyk and J. Malecki ont etudié les systèmes de particules de Bessel au carré et plus généraux, un sujet des probabilités modernes au croisement de la physique mathématique et la théorie des matrices aléatoires. Ils continuent la collaboration sur les processus de Bessel au carré matriciels classiques (appelés aussi processus de Wishart) et leur version généralisée, quand les particules peuvent prendre des emplacements négatifs.

Patrice Sawyer, est professeur des mathématiques et vice-président de la recherche et des études supérieures de l'Université Laurentienne à Sudbury, Ontario, Canada. Il est un spécialiste éminent de l'analyse harmonique sur les espaces symétriques et en particulier sur la théorie des fonctions sphériques.Il sera l’invité de Piotr Graczyk au laboratoire LAREMA d’Angers, du 25 août au 8 septembre 2012. Notre collaboration dure depuis 10 ans et a apporté 6 publications, cf. la liste ci-dessous.

L'objectif de la visite de Patrice Sawyer est de poursuivre notre recherche sur la formule de produit et la convolution des mesures orbitales singulières, sur les Grassmaniennes, c’est-à-dire sur les espaces riemanniens symétriques de type Bn. Ceci a été fait dans les articles [5,6] pour les espaces de type An.

1. P. Graczyk, P. Sawyer, The product formula for the spherical functions on symmetric spaces in the complex case, Pacific J. Math. 204(2002), 377-393.
2. P. Graczyk, P. Sawyer, The product formula for the spherical functions on symmetric spaces of non-compact type, J. Lie Theory 13(2003), 247-261.
3. P. Graczyk, P. Sawyer, Some convexity results for the Cartan decomposition, Canadian J. Math.55(2003),1000-1018.
4. P. Graczyk, P. Sawyer, On the kernel of the product formula on symmetric spaces, Journal Geom. Analysis, 14(2004), 653-672.
5. P. Graczyk, P. Sawyer, Absolute continuity of convolutions of orbital measures on Riemannian symmetric spaces, Journal of Functional Analysis 259(2010), 1759-1770.
6. P. Graczyk, P. Sawyer, A sharp criterion for the existence of the product formula on symmetric spaces of type An, J.Lie Theory 20 (2010), 751-766.