A. Kachmar visite le laboratoire Jean Leray pour un projet portant sur le développement et l'étude mathématique de certaines questions faisant intervenir l'opérateur de Laplace avec un champ magnétique.

En collaboration avec B. Helffer, plusieurs articles sur ce sujet ont déjà été publiés qui mettent en évidence de nouvelles propriétés, tant physiques que mathématiques, du Laplacien magnétique, qui ont aussi inspiré les travaux d'autres collègues, post-docs et thésards (en particulier à Rennes, Angers et Aarhus).

Motivé par la mécanique quantique et la physique de la matière condensée, le nouveau projet aborde de nouvelles questions, dans le cadre de l'analyse linéaire et non-linéaire, autour du Laplacien magnétique:
- Effets de la courbure et le champ magnétique constant par morceaux.
- Modèle de Montgomery non-linéaire et supraconductivité en dimension 3.
- Effet d'Aharonov-Bohm non-linéaire.

Ayman Kachmar est Professeur à l'université libanaise. Il a reçu de nombreuses invitations à l’étranger, en France (en particulier à Angers et Nantes), en Chine, au Danemark (Aarhus), en Suède (Lund, Institut Mittag-Leffler (Djursholm), et au Canada (Conférence à Banff).

La mission se déroulera la première semaine à Nantes sous mon parrainage puis la seconde semaine à Angers sous le parrainage de N. Raymond mais le projet est commun.

L'effet tunnel pour le laplacien de Robin
Récemment, nous (=Kachmar-Helffer-Raymond) avons étudié le spectre du Laplacien de Robin dans un ouvert O à bord régulier dans R2. Nous avons analysé lorsque O est symétrique avec deux points de courbure maximale (typiquement une ellipse) l'effet tunnel intervenant dans le calcul des deux premières valeurs propres de cet opérateur.
Il reste à comprendre l'effet tunnel dans les situations suivantes:
-Le cas où O est dans R3 (il y a quelques résultats préliminaires par Pankrashkin-Popoff) ;
-Le cas où O est dans R2 mais avec un champ magnétique.
Ces exemples sont importants parce qu'ils montrent comment l'effet tunnel peut être induit par la géometrie du domaine.

La fonctionnelle de Ginzburg-Landau avec un champ magnétique variable
Cette fonctionnelle de Ginzburg-Landau décrit le comportement d'un supraconducteur de type II soumis a un champ magnétique extérieur H B(x) dans un ouvert simplement connexe O du plan et dépend d’un paramètre de Landau k.

Le comportement de l’énergie associée dans le cas où B est constant est bien compris lorsque le paramètre de Landau k et l’intensité H tendent vers l’infini. Le cas où B est non constant est abordé dans le livre de Fournais-Helffer puis dans les travaux émanant de la thèse de K. Attar (codirigé par B. Helffer et A. Kachmar). Le cas où B change de signe dans O est aussi considéré (voir aussi la thèse de J.P. Miqueu codirigée par M. Dauge et N. Raymond et celle de K. Attar) mais il reste à analyser des situations où la supraconductivité va apparaître à l’intersection du bord et de la courbe de changement de signe de B.

Références
K. Attar. The ground state energy of the two dimensional Ginzburg-Landau functional with variable magnetic field. Anal. de l’IHP- Anal Non-Linéaire Vol. 32 (2015) .

K. Attar. Energy and vorticity of the Ginzburg-Landau model with variable magnetic field. Asymptot. Anal. Vol. 93 (2015).

S. Fournais, B. Helffer. Spectral Methods in Surface Superconductivity. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. 77 Birkhauser (2010).

B. Helffer, A. Kachmar. The Ginzburg-Landau functional with a vanishing magnetic field. Arch. Ration. Mech. Anal. 218 (2015).

B. Helffer, A. Kachmar. From constant to non-degenerately vanishing magnetic fields in superconductivity. Anal. de l’IHP- Anal. Non-Linéaire 34 (2017).

B. Helffer, A. Kachmar, N. Raymond. Tunneling for the Robin Laplacian in smooth planar domains. Commun. Contemp. Math. 19 (2017).

J.P. Miqueu. équation de Schroedinger avec un champ magnétique qui s’annule. Thèse de doctorat, Universté de Rennes. (2016)

E. Sandier, S. Serfaty. Vortices in the Magnetic Ginzurg-Landau Model. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, vol.70, Birkhauser, (2007).