Les invariants énumératifs quadratiques ont été récemment introduits dans une série de travaux de Marc Levine, Kirsten Wickelgren, Jesse Kass, et Jake Solomon. Ils généralisent les invariants de Gromov-Witten et de Welschinger des surfaces de del Pezzo à l'énumération de courbes algébriques dans des surfaces définies sur une grande classe de corps de base. Les invariants obtenus ne sont plus des entiers mais des éléments du groupe de Grothendiek-Witt corps de base considéré. Les récents progrès dans l'étude de ces invariants quadratiques suggèrent que de nombreuses relations récemment mise à jours entre les invariants de Gromov-Witten et ceux de Welschinger ne seraient que des instances particulières de résultats plus généraux concernant les invariants quadratiques. Dans un travail en commun avec Johannes Rau et Kirsten Wickelgren, nous étudions des résultats de spécialisations de ces invariants, ainsi qu’une version quadratique de la formule d'Abramovich-Bertram. Rappelons que cette formule, issue de la géométrie complexe et aux conséquences notables (par exemple l'invariance forte des invariants de Welschinger), a une version réelle extrêmement simple d'énoncé mais dont l'origine reste mystérieuse. La version enrichie permettra sans aucun doute de démystifier cette formule d'Abramovich-Bertram réelle et de mettre à jour des phénomènes géométriques jusque là ignorés.

Les invariants énumératifs quadratiques ont été récemment introduits dans une série de travaux de Marc Levine, Kirsten Wickelgren, Jesse Kass, et Jake Solomon. Ils généralisent les invariants de Gromov-Witten et de Welschinger des surfaces de del Pezzo à l'énumération de courbes algébriques dans des surfaces définies sur une grande classe de corps de base. Les invariants obtenus ne sont plus des entiers mais des éléments du groupe de Grothendiek-Witt corps de base considéré. Les récents progrès dans l'étude de ces invariants quadratiques suggèrent que de nombreuses relations récemment mise à jours entre les invariants de Gromov-Witten et ceux de Welschinger ne seraient que des instances particulières de résultats plus généraux concernant les invariants quadratiques. Dans un travail en commun avec Johannes Rau et Kirsten Wickelgren, nous étudions des résultats de spécialisations de ces invariants, ainsi qu’une version quadratique de la formule d'Abramovich-Bertram. Rappelons que cette formule, issue de la géométrie complexe et aux conséquences notables (par exemple l'invariance forte des invariants de Welschinger), a une version réelle extrêmement simple d'énoncé mais dont l'origine reste mystérieuse. La version enrichie permettra sans aucun doute de démystifier cette formule d'Abramovich-Bertram réelle et de mettre à jour des phénomènes géométriques jusque là ignorés.

Les invariants énumératifs quadratiques ont été récemment introduits dans une série de travaux de Marc Levine, Kirsten Wickelgren, Jesse Kass, et Jake Solomon. Ils généralisent les invariants de Gromov-Witten et de Welschinger des surfaces de del Pezzo à l'énumération de courbes algébriques dans des surfaces définies sur une grande classe de corps de base. Les invariants obtenus ne sont plus des entiers mais des éléments du groupe de Grothendiek-Witt corps de base considéré.
Les récents progrès dans l'étude de ces invariants quadratiques suggèrent que de nombreuses relations récemment mise à jours entre les invariants de Gromov-Witten et ceux de Welschinger ne seraient que des instances particulières de résultats plus généraux concernant les invariants quadratiques. Dans un travail en commun avec Johannes Rau et Kirsten Wickelgren, nous étudions des résultats de spécialisations de ces invariants, ainsi qu’une version quadratique de la formule d'Abramovich-Bertram. Rappelons que cette formule, issue de la géométrie complexe et aux conséquences notables (par exemple l'invariance forte des invariants de Welschinger), a une version réelle extrêmement simple d'énoncé mais dont l'origine reste mystérieuse. La version enrichie permettra sans aucun doute de démystifier cette formule d'Abramovich-Bertram réelle et de mettre à jour des phénomènes géométriques jusque là ignorés.

Johannes Rau est professeur à l'Université de Los Andes de Bogota (Colombie). C'est un mathématicien de renommée internationale, dont le domaine d'expertise comprend la géométrie tropicale et la géométrie algébrique réelle. Durant son séjour à Nantes, il travaillera en collaboration avec Erwan Brugallé sur l’étude topologique des variétés tropicales réelles en codimensions au moins 2. Les racines de la géométrie tropicale remontent entre autre au patchwork de Viro, une des techniques les plus puissantes pour construire des variétés algébriques réelles. Récemment, plusieurs reformulations et généralisations en ont été développées en utilisant le langage tropical. Néanmoins, la quasi-totalité des applications du patchwork demeurent restreintes au cas des hypersurfaces. La visite de Johannes Rau permettra d'élargir les domaines d'application du patchwork en codimensions supérieures.

Lucia Lopez de Medrano travaille en collaboration avec Erwan Brugallé sur la topologie des variétés tropicales. Ils ont montré dans un travail antérieur que, de manière surprenante, les variétés tropicales satisfont à des contraintes topologiques moins fortes que les variétés algébriques complexes. Il s'agit maintenant de comprendre plus finement les contraintes topologiques tropicales.

Lucia Lopez de Medrano travaille en collaboration avec Erwan Brugallé sur la topologie des variétés tropicales. Ils ont montré dans un travail antérieur que, de manière surprenante, les variétés tropicales satisfont à des contraintes topologiques moins fortes que les variétés algébriques complexes. Il s'agit maintenant de comprendre plus finement les contraintes topologiques tropicales.

Ma collaboration avec Kristin Shaw tourne actuellement autour de diverses question relatives à l'homologie tropicale récemment introduite par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. Cette théorie, initialement développée pour étudier les variétés tropicales non-singulière, s'est par la suite étendue au objets beaucoup plus généraux que sont les complexes polyédraux (sans condition d'équilibre ni notion de non-singularité). Cette généralisation a en particulier fourni une intuition algébro-géométrique sur ces objets combinatoires. De manière extrêmement surprenante, cette intuition a permit d'établir de nombreux théorèmes combinatoires analogues à des théorèmes de géométrie algébrique (eg le théorème (1,1) de Lefschetz), et ce même pour des complexes polyédraux si situant bien loin de la géométrie algébrique. Voici deux exemples de problèmes ouverts sur lesquels nous travaillons actuellement: établir de manière purement combinatoire l'invariance des nombres de Hodge tropicaux des hypersurfaces tropicales non-singulières; établir ou réfuter la formule de Noether pour les surfaces tropicales non-singulières.

Il est apparu récemment que la topologie des variétés tropicales projectives est soumises à des contraintes moins fortes que celle de variétés algébriques complexes projectives. Cependant, déterminer avec précision ces contraintes reste encore un problème largement ouvert. Le but de cette collaboration est de trouver des bornes supérieures raisonnables sur le genre des courbes tropicales (singulière ou non-singulières) projectives. À noter qu’une telle borne optimale est déjà inconnue dans le cas de cubiques spatiales.