Des processus à longue mémoire apparaissent souvent dans des applications : phénomènes naturels (hydrologie), sociaux et économiques (connexions de télécommunication, les prix des actifs, les turbulences). Ces signaux présentent une propriété de "longue mémoire". Dans le cas stationnaire, les méthodes issues de l'analyse harmonique et, plus largement, des ondelettes sont très efficaces mais l'applicabilité générale de ces méthodes aux séries temporelles non stationnaires reste très limitée.

Le but de ce projet est de développer une théorie spectrale plus générale qui capturerait les processus non-stationnaires avec une dépendance à longue distance en temps discret. Il s'inspire des méthodes classiques d'analyse des équations intégrales avec des noyaux de différence faiblement singuliers et de leurs applications récentes aux processus stochastiques avec une structure de covariance fractionnaire.

Alexander Veretennikov est professeur de mathématiques à l'Université de Leeds (UK). Il est un probabiliste et statisticien, son domaine d’expertise contient les équations différentielles stochastiques et approximations ; processus de Markov, estimations paramétriques, grandes déviations. Il est un expert très reconnu à l’échelle internationale dans le domaine du filtrage et statistique des processus.

Lors de sa visite on va travailler sur les deux sujets ci-dessous en statistique des processus stochastiques :

• stabilité́ d'un filtre non-linéaire optimale par rapport à des petites perturbations sur les paramètres du modèle ;
• stabilité d’un filtre optimal par rapport aux données initiales erronées perturbées par les bruits fractionnaires.

Professeur Murad Taqqu est un de meilleur spécialistes dans le domaine de processus a longue mémoire, en particulier, les processus fractionnaires. Lors de son visite on a travaillé sur le problème de la répartition de Rosenblatt. Cette répartition admet plusieurs caractérisations implicites équivalentes. Par exemple, elle peut être considérée comme la probabilité induite par la double intégrale d’un certain noyau par rapport à la mesure de Wiener ou, alternativement, par la série de \ chi ^ 2 variables aléatoires pondérées et centrées. Malheureusement, de telles caractérisations apportent peu de lumière sur les caractéristiques de la répartition, telles que les moments, la fonction caractéristique, les queues, etc. Beaucoup de ces détails restent inconnus. Exact schéma d'échantillonnage reste une question ouverte difficile. Avec Murad Taqqu on a étudié un lien entre la répartition de Rosenblatt et le problème de factorisation des opérateurs de Fredholm.