Nos recherches tournent autour de la cohomologie des algèbres de Leibniz. Jörg Feldvoss étant le rapporteur de la thèse de mon étudiant Thomas Beaudouin, un de nos projets est d'exploiter un peu plus les techniques de suites spectrales à la Hochschild-Serre pour les algèbres de Leibniz. Un autre projet, lié au précédent, est de montrer un deuxième Lemme de Whitehead pour les algèbres de Leibniz semisimples, i.e. si L est une algèbre de Leibniz semisimple, alors HL^2(L,M)=0 pour tout L-module à gauche de dimension finie M. Ceci a été conjecturé par Adashev-Ladra-Omirov, et des éléments de solution se trouvent aussi dans un article de Fialowski-Magnin-Mandal. Une difficulté provient dans le cadre Leibniz du fait qu'une algèbre de Leibniz simple peut tout de même posséder un idéal propre, à savoir l'idéal des carrés.

Nous continuons notre collaboration sur les groupes catégoriques. Après avoir défini les modules pour un tel groupe G, nous examinons dans la suite le centre de Drinfeld de la catégorie des G-modules pour explorer l'analogue des modules de Yetter-Drinfeld. Au même temps, nous enrichissons notre stock d'exemples par une construction utilsant les r-matrices au sens de Cirio-Martins.

En théorie de jauge supérieure, les fibrés principaux sont remplacés par des fibrés catégoriques (comme par exemple des gerbes), et leurs données de connexion fournissent ce qui deviendra des champs dans cette théorie de jauge. Saikat a travaillé sur des constructions de ce genre d'objet avec A. Lahiri et A. Sengupta, et nous allons comparer leurs constructions avec celle de Baez-Schreiber que Abbaspour-Wagemann ont utilisé pour définir un caractère de Chern en homologie de Hochschild supérieure.

D'une part, nous pensons introduire une « suite spectrale de linéarité » qui devrait être le pendant de la suite spectrale de Gelfand-Fuchs pour les variétés algébriques. Elle serait induite par la filtration du complexe de cochaînes d'algèbres de Lie de l'algèbre de Lie des champs de vecteurs réguliers sur une variété algébrique lisse en prenant un certain nombre de facteurs tensoriels linéaires sur le corps de base k et le restant linéaire sur les fonctions régulières. On espère d'avoir comme terme E1 ou E2 un produit tensoriel entre formes de de Rham et un autre espace, et que la suite converge vers la cohomologie d'algèbre de Lie. L'intérêt d'une telle suite serait de pouvoir enfin calculer la cohomologie de Der(k[x]) (version algébrique des champs de vecteurs sur le cercle Vect(S^1)) sans introduire arbitrairement une topologie de Fréchet.Un autre projet est le calcul de la cohomologie de Gelfand-Fuchs (ordinaire) de l'algèbre de Lie des champs de vecteurs qui respectent un feuilletage sur une variété. Le modèle local serait ici un produit tensoriel entre une algèbre de Lie de champs de vecteurs formels en les variables x1,...xl et l'algèbre commutative associative des fonctions formelles en les variables x1,...,xn (avec l

Dans la quantification par déformations du dual d’une algèbres de Lie g, le groupoïde symplectique (qui apparaît naturellement dans la quantification de n’importe quelle variété de Poisson) s’avère d’être intimement lié au groupe de Lie intégrant g. Il est donc naturel de s’interroger quelle structure prend la place du groupoïde symplectique dans le schéma de quantification des duaux d’algèbres de Leibniz de [2]. Dans la quantification du dual de g, c’est le relèvement cotangential T* μ qui donne la structure du groupoïde symplectique.Dans notre contexte, on devrait avoir un rackoïde symplectique. Nous introduisons la définition d’un rackoïde de Lie dans notre travail [4] avec Camille Laurent-Gengoux.

Dans la quantification par déformations du dual d’une algèbres de Lie g, le groupoïde symplectique (qui apparaît naturellement dans la quantification de n’importe quelle variété de Poisson) s’avère d’être intimement lié au groupe de Lie intégrant g. Il est donc naturel de s’interroger quelle structure prend la place du groupoïde symplectique dans le schéma de quantification des duaux d’algèbres de Leibniz de [2]. Dans la quantification du dual de g, c’est le relèvement cotangential T* μ qui donne la structure du groupoïde symplectique.Dans notre contexte, on devrait avoir un rackoïde symplectique. Nous introduisons la définition d’un rackoïde de Lie dans notre travail [4] avec Camille Laurent-Gengoux.