A basic question in symplectic topology is that of understanding which 2n‐dimensional smooth closed manifolds admit a symplectic structure. There are some obvious homotopical requirements, such as the existence of a cohomology 2‐class whose exterior wedge powers are all non‐zero (up to the maximal degree of the non‐zero cohomology groups) and of a non‐degenerate alternating 2‐form. In dimension 2n=4, Taubes '94 found some additional non‐trivial necessary conditions coming from the deep theory of Seiberg‐Witten invariants. This said, at this time it is still unknown whether there are some non‐trivial geometric conditions in the case of dimensions 2n>4.

The research visit of Agustin Moreno is in relation to a joint work of ours together with Lauran Toussaint and Francisco Presas, where we aim to prove that, given any smooth closed 4‐manifold M where all the homotopical necessary conditions to have a symplectic form are satisfied, its product MxT^2 with the 2‐torus T^2 admits a symplectic structure. In other words, up to stabilizing the 4‐manifold by taking a product with the 2‐torus, the non‐trivial geometric conditions of the 4‐dimensional case are no longer important.

Nous considérons un problème inverse géométrique où une partie inconnue de la frontière du domaine est construite à partir de la connaissance de conditions aux limites partiellement surdéterminées. Nous proposons une méthode de résolution de ce problème dont l'essence consiste à résoudre un problème de Cauchy pour les équations de Poisson suivi de la résolution d'une série de problèmes non linéaires indépendants. Le problème de Cauchy, est reformulé en une équation intégrale de Fredholm de première espèce. Ensuite, une méthode de régularisation et une propriété de séparation de variables dans la fonction noyau sont utilisées pour obtenir une forme analytique de la solution régularisée. Les coordonnées de la partie inconnue de la frontière sont ensuite obtenues comme racines de certaines équations non linéaires en utilisant une méthode de type Newton.

L’objectif de la collaboration est d’étudier les liens entre les Kato limites [Carron, Mondello, Tewodrose 2021] qui sont les espaces limites de variétés riemanniennes à courbure de Ricci dans une classe de Kato uniforme, et les espaces de Dirichlet « tamed » [Erbar-Rigoni-Sturm-Tamanini 2020, Braun 2021] qui satisfont une condition synthétique de courbure de Ricci dans une classe de Kato. Il s’agira de mettre en perspective les résultats connus dans chacun de ces deux cadres afin qu’ils apportent un éclairage nouveau l’un sur l’autre. On recherchera également une condition lagrangienne équivalente à la condition eulérienne des espaces de Dirichlet « tamed », dans l’esprit de la formulation en terme de transport optimal des conditions de courbure-dimension CD(K,N) introduites par Lott, Sturm et Villani.

Lauran Toussaint, Klaus Niederkruger et moi avons une collaboration en cours sur le thème des feuilletages symplectiques en grandes dimensions. Les feuilletages symplectiques sur les variétés de dimensions impaires sont des feuilletages de codimension 1 pour lesquels il existe une 2- forme sur la variété ambiante qui est symplectique (i.e. non dégénérée et fermée) sur chaque feuille. Si la 2-forme est en plus fermée sur la variété ambiante, le feuilletage est dit symplectique fort. L’interêt pour ce type de feuilletage est motivé par des résultats plutôt récents qui montrent qu’ils sont des objets assez « rigides », i.e. qui n’existent pas sur toute variété de dimension impaire (où il n’y a pas d’obstructions homotopiques), mais qui au contraire donnent des contraintes non banales sur la topologie de la variété ambiante. Dans notre travail en collaboration (en phase de termination), nous donnons une obstruction pour qu’un feuilletage symplectique soit symplectique fort, qui prend la forme d’une sous variété feuilletée qui est dans un certain sens analogue au Plastikstufe introduit par Niederkruger ‘06 dans le cas des variétés de contact.

Dans ce projet nous nous intéressons à la résolution du problème inverse de Cauchy pour l'équation de Poisson par des méthodes sans maillage. Nous développons une méthode semi-analytique basée sur l'approximation de la solution de ce problème par des ondelettes de Haar. Nous utilisons la technique de régularisation de Thikonov combinée à une stratégie de préconditionnement pour la résolution du système linéaire obtenu.

Le but de ce projet entre dans le cadre de la coopération entre des membres du Laboratoire de Mathématiques Jean Leray de Nantes Université et de Mourad NACHAOUI, ancien doctorant de notre laboratoire et actuellement professeur habilité à l'Université Sultan Moulay Slimane, Beni Mellal, Maroc. Deux types de travaux scientifiques seront considérés durant ce séjour. Le premier travail consiste résoudre un problème mal posé issu du traitement d'image en utilisant une nouvelle approche basée l'assimilation des données. Concrètement nous traitons l'estimation du flot optique en présence du bruit. Quant au deuxième travail il vise à finaliser certains problèmes déjà entamés en collaboration avec les collègues du Laboratoire de Mathématiques Jean Leray. Un premier problème consiste à proposer une nouvelle formulation en contrôle optimal pour résoudre un problème inverse de reconstruction de données aux bord. Quant au deuxième problème il consiste à finaliser le problème de la résolution d’un modèle inverse appliqué à la prévision météorologique.

Nous comptons travailler sur l’étude de phénomène de rigidité et de flexibilité en géométrie localement conformément symplectique. Ces variétés ont le même géométrie locales que les variété symplectique mais les changement de cartes peuvent modifier le volume symplectique. Des théorème d’existences générales montrent que c’est une relation flexible et nous volons nous intéresser à certaines propriétés de celles-ci rendant ces variétés rigides. Une de ces propriétés (que nous avons déjà commencé à étudier à distance) est le fait que la variété apparaissent comme déformation d’une vraie structure symplectique (par le théorème de Lefschetz fort cela sort de monde de la géométrie Kaehler). L’existence de telle déformation est reliée à l’existence d’hypersurface de contact non-séparante, la construction de telle hypersurface (ou l’obstruction à l’existence de celles-ci) est aussi un des axes que nous aimerions explorer.

Ce projet de collaboration se focalise sur la résolution du problème inverse de Cauchy à l'aide d'un réseau neuronal profond (DNN). Ceci est dû à la variété des applications du problème de Cauchy dans la vie réelle, ce qui nous permettra d'utiliser un ensemble de données réelles. L'idée de résoudre ce modèle est basée sur l'interpolation de la solution du problème inverse par un réseau de neurones profond (DNN). Pour cette raison, notre étude se concentrera d'abord sur l'évaluation numérique de différentes architectures récemment proposées dans le domaine de l'apprentissage automatique. Ensuite, nous proposons une nouvelle architecture à haute capacité avec des justifications théoriques, et nous essayons d'utiliser différents types de méthodes d'optimisations pour améliorer les résultats obtenus.

David Tewodrose a soutenu sa thèse en 2018 à la Scuola Normale Superiore di Pisa sous la co-direction de L. Ambrosio et T. Coulhon. Il a été ensuite enseignant-chercheur non titulaire à l'Université de Cergy-Pontoise de 2018 à 2020 et en 2020/2021, il était Post-doc à l'Université Libre de Bruxelles.

Ces recherches portent sur l'analyse sur les espaces métriques en particulier sur les espaces vérifiant une condition de type courbure de Ricci synthétique minorée à la Lott-Villani et Sturm et la convergence de variétés riemaniennes sous des conditions de courbures.

Page web de David Tewodrose

Thomas Crozon est doctorant à l'Ecole Centrale de Nantes sous la direction de Mazen Saad et membre du laboratoire LMJL depuis 01/10/2021 .

Thomas Crozon est diplômé de l'ENS Rennes (2017--2021), a obtenu également un Master 2 MFA (Algèbre et géométrie) de l'université de Nantes.

Sa thèse est cofinancée par ALL et la direction de la recherche de Centrale Nantes.

Sa thèse est intitulée : Volumes finis pour des écoulements diphasiques compressibles avec pression capillaire discontinue.

L'objectif de sa thèse est l'approximation du modèle diphasique compressible en milieux poreux complexes. Cet objectif est motivé par des applications concrètes en ingénierie pétrolière et en géothermie. Un accent particulier sera mis sur le comportement de la pression capillaire et l’hétérogénéité des lois physiques. On suppose que le milieu poreux est saturé par deux phases l’une est mouillante et l’autre est non-mouillante.

La difficulté principale provient de la discontinuité spatiale de la pression capillaire à l'interface des différents types de roches modélisée par des conditions non linéaires de transmission et de la compressibilité des fluides. La difficulté dans le design et l’analyse numérique de schéma vient essentiellement de la non-monotonie du terme capillaire, le couplage non linéaire dû aux conditions de transmission et de compressibilité.