La loi quasi-stationnaire µ d'un processus de Markov X associée au temps d'atteinte T d'un certain domaine est une mesure de probabilité telle que lorsque le processus X a pour loi initiale µ, la loi de X(t) sachant que t<T est encore la loi µ. Pour les processus de branchement, les lois quasi-stationnaires associées au temps d'extinction de la population sont bien connues. L'objectif de ce travail est de déterminer, pour les processus de branchement multitypes irréductibles, les lois quasi stationnaires associées aux temps d'extinction d'une partie de la population. Nous étudierons également le processus conditionné à ce qu'une partie de la population ne s'éteigne jamais et ferons le lien avec les lois quasi-stationnaires obtenues.

Ce travail se situe dans le prolongement de l’article : Chaumont, L.; Doney, R. A. Invariance principles for local times at the maximum of random walks and Lévy processes. Ann. Probab. 38 (2010), no. 4, 1368–1389. Dans ce dernier, nous avons montré que si une suite de processus de Lévy converge en loi, alors certaines fonctionnelles telles que les temps locaux au minimum ou les processus d’échelle convergent également en loi. Nous nous proposons dans ce projet de montrer que réciproquement, si une suite de processus d’échelle espace-temps au maximum converge en loi, alors la suite de processus de Lévy associée converge aussi. Cela suppose tout d’abord qu’une loi infiniment divisible est entièrement caractérisée par son processus d’échelle espace temps au maximum. Lors d’une précédente visite de Ron Doney, nous avons remarqué qu’en fait ce problème est équivalent à la conjecture suivante : soit m(dx) une mesure de probabilité quelconque sur R. La mesure m(dx) est entièrement caractérisée par la donnée des produits de convolution m*n(dx), n>0, de m(dx) par elle-même sur R+. Nous avons déjà vérifié que cette conjecture est vrai lorsque m(dx) admet des moments exponentiels positifs, ou bien lorsque m(dx) est absolument continue et que sa densité est complètement monotone ou vérifie une certaine condition d’analycité sur R+.